Saturday, 10 March 2012

Sind Zeitschrittverfahren periodisch?

Häufig wird man in der numerischen Simulation von dynamischen Vorgängen im Bauwesen mit Zeitschrittverfahren konfrontiert.  Allerdings sind die harmonischen Verfahren, die auf der Fourier-Analyse und Gleichungssystemen im Komplexzahlenraum basieren, deutlich effizienter und auch in den Normen und Standards verankert (siehe EN ISO 13786)

Das Verhalten des Bauwerkes wird unter den veränderlichen Randbedingungen betrachtet. Der in viele Zeitschritte unterteile Parameterverlauf (z.B. Temperaturverlauf, Heizleistungen, Kühlleistungen über das Jahr oder Tag) wird für die Berechnung angesetzt.

Um das Ergebnis im  Zeitschrittverfahren zu erzielen wird der angesetzte Verlauf der Randbedingung mehrmals wiederholt durchlaufen, bis die dynamischen Effekte (z.B. Wärmespeicherung) sich  "eingependelt" haben – es wird also eine Annahme angesetzt die die periodische Wiederholung dieser Randbedingungen bedeutet. Die Notwendigkeit die Zeitschritte unter Umständen sehr oft wiederholt Anzuwenden bis der „periodisch eingeschwungene“ Zustand „quasi“ erreicht wird stellt die größte Schwäche des Verfahrens dar. Oft ist es notwendig den Jahresverlauf mehr als 30 oder 50 mal durchzulaufen um annehmen zu können dass der „quasi eingeschwungene Zustand“ erreicht ist und erst dann halbwegs plausible Aussagen anhand der Ergebnisse ablesen oder machen zu können.

Die periodisch- harmonischen Methoden liefern aus einer direkten Berechnung das Ergebnis welches mit dem Durchlaufen von unendlich vielen solcher Wiederholungen der Randbedingung im Zeitschrittverfahren entspricht  – also tatsächlich dem gewollten eingeschwungenen Zustand!
Die aus Zeitschritten bestehende Randbedingung wird zunächst mittels Fourier-Analyse in eine Superposition von vielen Harmonischen unterteilt. Jede davon entspricht (vereinfacht gesagt) einem Sinusverlauf. Mit der Wahl der ausreichenden Zahl von harmonischen kann praktisch jeder veränderlicher, periodischer Vorgang genau modelliert werden – und dies lediglich mit wenigen Zahlen: Periodenlänge, Amplitude und Phasenverschiebung.

Ein Jahresverlauf von 365 Tagesmittelwerten kann bereits mit 9-10 Harmonischen ausreichen detailliert abgebildet werden. Ein Monatsmitteverlauf (12 Werte) sogar mit 5-6 Harmonischen. Ein Stundenverlauf von 24 Stundenwerten (oder Mittelwerten) mit 5-6 Harmonischen. Auch ein Jahresverlauf der 8760 Stundenwerte wird ausreichend bereits mit nur 12-13 Harmonischen nachgebildet wenn auf das Jahresverhalten des Bauwerkes ankommt!
Das Hinzunähmen von weiteren (höheren) Harmonischen ist vorrangíg bei Schaltzuständen und Wertesprüngen gegebenenfalls notwendig.

Für jede Harmonische einer jeden Randbedingung wird ein Gleichungssystem mit der Annahme von unveränderlichen eigenschaften des Mediums im komplexen Zahlenraum aufgestellt und direkt gelöst
Bemerkungswert ist, dass die Gleichungssysteme von den Ausgangsgrößen der Fourier-Analyse der veränderlichen Randbedingungen nicht abhängig sind, lediglich von der Wahl der Harmonischen (Periodenlänge, Periodenlänge/2, Periodenlänge/3, …) und der Zahl der Randbedingungen.

Tatsächlich wird man bereits mit lediglich zwei Harmonischen das auslangen für eine ausreichend genaue Berechnung finden – der „nullten harmonischen“ – also dem Mittelwert und der „ersten Harmonischen“ – also der Hauptperiode der Veränderung.
So sind solche Größen wie unter Anderem die  Amplitude und Phasenverschiebung der Wärmeströme direkt aus diesen   „Basislösungen“ berechenbar und entsprechen den in dem Standard vorgegebenen Verfahren.
Auch weitere Kennzahlen zur Beurteilung des „thermisch dynamischen Verhaltens von Bauwerken“ können direkt und aus der harmonischen Berechnung exakt abgeleitet werden – und dank der Unabhängigkeit von den Randbedingungen geschieht das sogar ohne irgendwelche Annahmen oder Kenntniss zu deren tatsächlichem Verlauf!

Durch die Superposition der Kennzahlen und den aus der Fourier‘schen Analyse gewonnenen Parameter kann selbstverständlich auch der zeitliche Verlauf der weiteren, abgeleiteten Größen leicht ermittelt werden.

Aus dem Blickwinkel des Standes der Technik besteht also keine Notwendigkeit die rechentechnisch aufwändigen und in den gewissen Massen fragwürdigen Näherungen mit Zeitschrittverfahren zu berechnen – eine standardisierte und exakte harmonische Berechnungsmethode liegt vor.
 
Für weitere Fragen stehe ich und weitere Fachläute gerne zur Verfügung.

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